Introducción:
Por más de un milenio los matemáticos han intentado una caracterización de todos los números congruentes. La mención más antigua del problema es atribuida a un texto de Muhama Ben Alcohain (anterior al año 972), donde dejó asentado que la intención del estudio teórico de los triángulos rectángulos racionales, era la de caracterizar números congruentes. Dos siglos y medios después, Leonardo de Pisa respondió a un reto de Johannes Palermo, al respecto de encontrar un triángulo recto de área \(n=5\); el reto arrojó un resultado desconocido e intrigante: el triple de lados \((3/2,20/3,41/6)\). En 1225, Fibonacci (Leonardo de Pisa) conjeturó y afirmó sin mostrar pruebas, que, si \(n×n\) es un cuadrado perfecto, \(n×n\) no puede ser un número congruente. La verificación de esta conjetura tuvo que esperar por Pierre de Fermat (francés), quién la verifica y a su vez deja un reto-conjetura que trascendió desde la medianía del siglo XVII hasta el final del siglo XX: Si \(m≥3\), no hay solución para \(x^n + y^n = z^n\) cuando \(x,y,z\) son enteros y el producto \(x×y×z≠0\). La última conjetura de Fermat, es ahora teorema, fue demostrado por Alfred Wiles en una extensa publicación basada en Curvas Elípticas y formas modulares. Las ecuaciones cúbicas no singulares (es decir: sin nudos ni picos, sin vértices o auto intersecciones), son por definición: ecuaciones elípticas. Este tipo de ecuaciones pueden no tener soluciones racionales en dos variables, tener solamente una solución racional, un número finitos de soluciones o un infinito número de soluciones. En la actualidad no existe un algoritmo general, único e unívoco que pueda discriminar y obtener todas las soluciones posibles en \(Q\) de una ecuación elíptica; sin embargo, mucho se ha adelantado al respecto.
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