La Hipótesis de Riemann

Siendo muy joven Gauss estableció que el número de primos menores que \(x\) es asintótico a \( {x}/{\log (x)} \). Lo que significa -en términos generales- que la probabilidad de que un número de magnitud \(x\) elegido aleatoriamente sea ​​primo es: \( {1}/{\log (x)} \). La propuesta de Gauss es conocida como el Teorema de los Números Primos (PNT).

En noviembre de 1859 Bernhard Riemann publicó en el Monatsberichte der Berliner Akademie un artículo de sólo 6 páginas donde introdujo ideas radicales para el estudio de los números primos. Estas ideas permitieron a Hadamard y de la Vallée Poussin obtener pruebas independientes del PNT.

Riemann propuso una fórmula para encontrar el número de primos menores que \(x\) en términos de la integral de \( {1}/{\log (x)} \) y las raíces (ceros) de la función zeta propuesta, definida por:

 \(\zeta \left( s \right) = \sum _{n=1}^{\infty }  \frac{1} { {n}^{s}}=1 + 1/{ {2}^{s}} + 1/{ {3}^{s}} + 1/{ {4}^{s}} + \cdot \cdot \cdot \) .

Riemann también conjeturó que la parte real de los ceros (no obvios) es exactamente \(1/2\), es decir, todos se encuentran en una línea vertical específica en el plano complejo sobre la línea con \(re(z) = 1/2\). La ubicación de estos ceros, se dividen en dos clases: los "ceros obvios" \(-2, -4, -6, \) etc., y aquellos cuya parte real se encuentra entre \(0\) y \(1\); exactamente en \(1/2\).

La conjetura de Riemann es uno de los problemas aún no resuelto del "Premios Milenio" por 1 millón de dolares del Instituto Clay. Se ha verificado la conjetura de Riemann como hipótesis verdadera para las primeras 10.000.000.000.000 soluciones; pero aún no ha sido demostrada universalmente.

La Hipótesis de Riemann es una conjetura extremadamente profunda, si la hipótesis es verdadera, entonces podremos probar que la mitad de los dígitos de la función de conteo \(\pi(n)\) y la función integral logarítmica \(Li(n)\) son iguales. Lo que sería una sorprendente generalización del PNT.

La hipótesis de Riemann fue uno de los famosos problemas de Hilbert: el número ocho de veintitrés. También es uno de los siete problemas del Premio Clay Millennium.

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por: Rommel Contreras         

Adaptado de: Clay Mathematics Institute 2005