Los números primos

Los números primos se definen por una propiedad elemental: se dice que un entero es primo si sólo es divisible por 1 y por sí mismo. La sucesión de los números primos comienza por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc. (por convención, el número 1 no se considera primo). Se trata de piezas elementales a partir de las cuales es posible formar cualquier entero por multiplicación, y ello de modo único 12 = \(2^2\) x 3; 90 = 2 x \(3^2\) x 5; 49649 = 131 x 379, etc. En cierto modo, pues, los números primos son los «átomos» a partir de los cuales se puede construir, por multiplicación, todos los enteros. Estos objetos matemáticos tan simples de definir han sido siempre fuente de fascinación. Los matemáticos se formulan acerca de ellos muchas preguntas, algunas todavía no resueltas, de las que veremos unos cuantos ejemplos. El estudio de los números primos, además, ha revelado vínculos profundos con otras ramas de las matemáticas, un fenómeno bastante frecuente en esta disciplina. Ha tenido incluso, desde 1980, importantes repercusiones sobre la criptografía, ya que ciertas técnicas modernas de cifrado de la información recurren esencialmente a los números primos. Una vez más, incluso las matemáticas más puras pueden tener aplicaciones concretas …

La criba de Eratóstenes.

Para empezar, observemos la sucesión de los números primos, por ejemplo hasta 100. Esta lista se fabrica fácilmente (para números pequeños) por medio de una receta, conocida desde la Antigüedad, llamada criba de Eratóstenes en honor al sabio griego del siglo III de nuestra era; en la lista se tachan todos los múltiplos de 2 (es decir, todos los números pares no iguales a 2), luego los múltiplos de 3, los de 5 y así sucesivamente. Los únicos números sobrantes son los primos.

Una de las primeras cuestiones que cabe plantearse en relación con la lista de los números primos es la de su longitud. ¿Hay infinitos números primos? La respuesta es que si. La demostración, contenida en los Elementos de Euclides, es de lo más simple. Para construir un número primo mayor que un entero n se calcula el producto P de todos los enteros comprendido entre 1 y n se añade 1 al resultado. Se obtiene así un número N (muy grande) igual a P+1 que no puede ser divisible por ningún número inferior a n (en efecto, P, por construcción, es divisible por todos los números menores que n, pero 1 no lo es). Por lo tanto, N es primo o divisible por un número primo mayor que n; en ambos casos existe un número primo que n y ello cualquiera que sea el valor de n. De ahí la existencia de infinitos primos.

Salta a la vista una segunda propiedad al examinar la lista de los números primos: lo irregular de su distribución. Por ejemplo, no hay ningún número primo entre 114 y 126, pero hay cinco entre 97 y 109. Estos números no parecen regidos por ningún orden. ¿Es realmente una de las principales cuestiones que se han planteado los matemáticos en relación con los números primos. Las respuestas todavía son parciales.

Cada vez más escasos. Pese a la irregularidad de la distribución de los números primos, se advierte

en ellos una cierta propiedad media. Se puede constatar fácilmente que los números primo son cada vez más raros. Por ejemplo, hay 168 números primos entre 0 y 1000, 106 entre 10000 y 11000, 81 entre 100000 y 101000, etc. Y sólo dos entre \(10^{100}\) y \(10^{100}\) + 1000 [*].

(H. Cohen, Mundo Científico/54: Extracto)

[*] Nota:

el primero es: 

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000267

y el segundo:

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001243